11.三种初等矩阵及其性质
11.1 三种初等矩阵
设存在列向量A：
\[A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
则以下\(X_1,X_2,X_3\)三种矩阵分别与A相乘后，可对A进行三种初等变换：
11.1.1 矩阵\(X_1\)：对应\(a_i \leftrightarrow a_j\)
设存在如下n阶矩阵\(X_1\)，使相应单位矩阵的第i行和第j行产生变化：
\[\tag{1}
X_1=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&x_{ii}=0&...x_{ij}=1&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0&0&0&...&x_{ji}=1&...x_{jj}=0&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
以上矩阵\(X_1\)将相应单位矩阵的元素\(x_{ii},x_{jj}\)变为0，\(x_{ij},x_{ji}\)变为1
则通过\(X_1 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i \leftrightarrow a_j\)：
\[X_1 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_j\\
...\\
a_i\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_1\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i \leftrightarrow a_j\)
11.1.2 矩阵\(X_2\)：对应\(\lambda \cdot A\)
设存在如下n阶矩阵\(X_2\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：
\[\tag{2}
X_2=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0 & ...&0&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{ii}=\lambda&0...&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & ...&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩阵\(X_2\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ii}\)的值由1变为\(\lambda\)
则通过\(X_2 \cdot A\)可对A进行初等变换\(\lambda \cdot A\)：
\[X_2 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
\lambda \cdot a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_2\)的矩阵可对应初等变换：\(\lambda \cdot A\)
11.1.3矩阵\(X_3\)：对应\(a_i+k \cdot a_j\)
设存在如下n阶矩阵\(X_3\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：
\[\tag{3}
X_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&1&0...x_{ij}=\lambda&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩阵\(X_3\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ij}\)的值由0变为\(\lambda\)，而元素\(x_{ii}\)的值保持1不变，使矩阵相乘时第i行共产生2个元素相加
则通过\(X_3 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i+\lambda \cdot a_j\)
\[X_3 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i+\lambda \cdot a_j\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_3\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i+k \cdot a_j\)
11.2 三种初等矩阵的性质
设存在矩阵\(A_{mn}\)，以及初等矩阵\(X\)
则跟据11.1的内容可知，初等矩阵X对矩阵A进行的初等变换具有以下性质：
性质1：矩阵相乘时，X作行则行变换，X作列则列变换：
\[\tag{4}
X_{mm} \cdot A_{mn} \Leftrightarrow A的相应行变换
\]
\[A_{mn} \cdot X_{nn} \Leftrightarrow A的相应列变换
\]
性质2：初等矩阵的逆阵也是初等矩阵
可通过：$$X\cdot X^{-1}=E$$ 对11.1中的\(X_1,X_2,X_3\)进行证明（证明过程略）
性质3：方阵可逆的性质（方阵拆解为有限个初等矩阵相乘）
设存在方阵\(A'_{nn}\)，以及有限个初等矩阵\(P_1,P_2,P_3,...,P_n\)
则：
\[\tag{5}
A'_{nn}可逆 \Leftrightarrow A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
性质3的证明：
\[由A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
\[\Rightarrow A'\cdot P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot P^{-1}_n = E
\]
由性质2及10.2矩阵标准形的特性：
\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot A'\cdot ...\cdot P^{-1}_n = F
\]
由矩阵的逆的性质：
\[\Rightarrow A' = P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n \cdot F
\]
由A是方阵：
\[\Rightarrow |A'| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n| \cdot |F|
\]
由A'可逆
\(
\Rightarrow |A'| \neq 0 \Rightarrow |F|\neq0
\)
则根据行列式按行展开的性质：
\(F无全为0的行\Rightarrow F=E\)：
\[\Rightarrow |A'| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n| （同理可反推A'可逆）
\]
则：
\[A'_{nn}可逆 \Leftrightarrow A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
性质3推论：方阵变换为单位矩阵
由性质3的式（5）：
\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot P^{-1}_n \cdot A'= E
\]
则：
\[方阵A'可逆 \Leftrightarrow A'_{nn}与E行等价
\]
\[\tag{6}
即可逆的方阵A'经过有限次行变换后可变换为单位矩阵E
\]
\[反之单位矩阵E经过有限次行变换后可变换为方阵A'的逆
\]
11.3 初等矩阵性质的应用
设存在以下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1\\
3 & 0 & -2\\
-2 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\]
现需求\(A^{-1}\)的值，证明\(A\)可逆。
根据初等矩阵的性质，可求解如下：
设存在3阶可逆方阵\(P=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n\)
则有：\(P \cdot A=E,\quad P \cdot E=A^{-1}\)
故\(A, E\)可同时进行行变换，可设矩阵(A,E)如下：
\[(A,E)=
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0\\
-2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
则经过有限次行变换后可得以下结果（变换过程略）：
\[(A,E)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 4 &2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6
\end{bmatrix}
\]
故\(A\)可逆，且：
\[A^{-1}=
\begin{bmatrix}
6 & 3 & 4\\
4 & 2 & 3\\
9 & 4 & 6
\end{bmatrix}
\]
