线性代数12.矩阵的秩及相关性质
12.矩阵的秩及相关性质
12.1 k阶子式
12.1.1 k阶子式示例
设存在以下矩阵:
\[X_{mn}=
\begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\
x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\
x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\
&&......\\
x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\\
\end{bmatrix}
\]
在矩阵中任选k行。如k=3,则有:
\[X_{mn}=
\begin{bmatrix}
\begin{array}{c}
\mathbf{x_{11}} & \mathbf{x_{12}} & x_{13} & ... & \mathbf{x_{1n}}\\
\hline \mathbf{x_{21}} & \mathbf{x_{22}} & x_{23} & ... & \mathbf{x_{2n}}\\
\mathbf{x_{31}} & \mathbf{x_{32}} & x_{33} & ... & \mathbf{x_{3n}}\\
\hline &&......\\
\mathbf{x_{m1}} & \mathbf{x_{m2}} & x_{m3} & ... & \mathbf{x_{mn}}\\
\hline
\end{array}
\end{bmatrix}
\]
以上分别选中第1行、第3行、第m行;第1列、第2列、第n列,则所选行列交叉处元素形成的行列式为:
\[\begin{vmatrix}
{x_{11}} & {x_{12}}& {x_{1n}}\\
{x_{31}} & {x_{32}}& {x_{3n}}\\
{x_{m1}} & {x_{m2}}& {x_{mn}}\\
\end{vmatrix}
\]
称以上行列式为矩阵X的3阶子式
12.1.2 k阶子式的定义
在\(m\times n\)的矩阵中,任取k行和k列(行列数均为k),则所选行列交叉处的\(k^2\)个元素所形成的行列式成为原矩阵的k阶子式,且k阶子式共有\(C_m^k \cdot C_n^k个\)
12.2 矩阵的秩
12.2.1 矩阵的秩的定义
若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D,且矩阵X的所有r+1阶子式均为0
则称数r为矩阵X的秩,记为R(X);D为矩阵X的最高阶非零子式。
12.2.2 矩阵的秩相关性质
\(|X|=|X^T| \Rightarrow R(X)=R(X^T)\)
\(n\)阶方阵\(A\)的\(n\)阶子式为\(|A|\),且:\(\begin{cases}R(A)=n,|A| \neq0(A可逆)\\R(A)<n,|A|=0(A不可逆) \end{cases}\)
12.3 矩阵求秩的方法
12.3.1 常规矩阵求秩
求以下矩阵A的秩R(A):
\[A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 5\\
4 & 7 & 1
\end{bmatrix}
\]
由计算可知,\(|A|=0\),故\(R(A)<3\)
A的2阶子式中,取较简单的进行计算:
\[\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{vmatrix}=-1\neq0
\]
由此,可知R(A)=2。
12.3.2 行阶梯形矩阵求秩
求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B):
\[B=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 3 & 1 & -2 & 5\\
0 & 0 & 0 & 4 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
由\(B\)的第4行为全0行\(\;\Rightarrow |B|=0 \;\Rightarrow R(B)<4\)
故取\(B\)前3行中较简单的3阶子式(上三角行列式)进行计算:
\[\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3\\
0 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 4
\end{vmatrix}=2\times3\times4=24\neq0
\]
由此,可知R(B)=3
12.3.3 矩阵求秩方法总结
由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知:
常规求秩方法受限于复杂行列式的计算
而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质,简化了行列式计算过程,从而使矩阵求秩过程更为直观(秩=非0行个数)